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详解公差分析中的Root Sum Square(RSS)

2020-01-15 文章来源:光行天下 阅读原文

简介

在所有公差单独计算之后,OpticStudio可以计算各种不同的统计数据,其中最重要的就是 "估算改变量 (Estimated Change)" 以及 “预估性能改变量 (Estimated Performance)” (本范例中为Estimated RMS Wavefront)。OpticStudio 使用平方和的根(RSS , Root Sum Square) 方法来计算品质的估算改变量 (Estimated Change)。对于每个公差项,首先计算相对于名义值的性能改变量的平方,然后计算最小和最大公差值的平均值。最大与最小值之所以取平均是因为它们不可能同时发生,如果相加的话会导致过分悲观的预测。

堆叠问题

我们将用公差统计中的堆叠问题 (Stack Up) 说 RSS 的计算。

问题的描述是这样的:

想象我们有5个木板要叠在一起,并需要估计叠在一起的总厚度。已知每一片木板的厚度都有些许不同 (现实世界总是会有误差!),每片木板的厚度大约在25 mm±0.1 mm的范围内随机分布。假设这些木板的厚度几率是正态分布,中心是25 mm,几率最大,25.1 mm跟24.9 mm的几率则是e^-2,刚好是距离中心两倍标准差 (sigma) 的位置,画出来如下图。

现在问题是,如果我们叠了5块木板以后,厚度的几率分布会变成怎样?

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答案是125 mm±0.224 mm。并且也会是正态分布。以125作为中心,125.224与124.776的位置发生几率恰好是e^-2。

换句话说,整个系统的总厚度:

1. 也是正态分布。

2. 正态分布中心刚好是每块木板的各自几率分布的中心的总合:5+5+5+5+5=125。

3. 整个系统正态分布几率为e^-2的地方,会是每块木板各自正态分布为e^-2时的偏差值 (deviation) 各自平方后、再加和、再开根号,也就是所谓的平方和的根 ( RSS, Root Sum Square),你可以在Excel中输入这右边这串计算来验证:sqrt(0.1^2+0.1^2+0.1^2+0.1^2+0.1^2)。答案正是0.224。

详细的证可以参考Wiki的说:https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_normally_distributed_random_variables

解读与假设

看到这里就能理解,平方和的根的偏差 (RSS Deviation) 代表的是整个系统最终落在这个范围内的几率是95.4%。以前面的例子来说,最终五片木板的厚度落在正负0.224范围内的几率是95.4%。

必须注意的是,这样的估计方式有两个重要假设:

1. 每个变量的影响都是正态分布。

例如前面例子中每个木板的厚度都是正态分布,其标准差是0.05。(注意前面说的正负0.1是标准差的两倍,也就是2 sigma)

2. 变量之间的关系是互相独立的。

每一片木板的厚度变化对整体厚度的影响不会受到其他木板的影响。木板a偏差+0.03,不论木板b偏差是-0.07还是0.01或其他数字,木板a对整体系统的影响就是+0.03,不会受到其他变数大小影响。

回到光学系统公差分析

综上,回到我们的OpticStudio公差分析。

在看估算改变量 (Estimated Change) 时,我们应该说,如果各个公差都符合正态分布与变量互相独立的假设,则代表统计上最终会有95.4%的系统,他们距离标称值,或说原始设计值 (Nomial) 的偏差 (Criterion) 都小于估算改变量 (Estimated Change)。

而对于预估性能改变量 (Estimated Performance ) (可能是RMS Spot Size或其他你设定的值),我们则可以说,95.4%以上的系统,他们的效能都会比这个数值还要 “好”。这就是为什么我们说蒙特卡罗 (Monte Carlo) 分析时,很少系统会比这个数值还差,并且可以把RSS Performance当作最差系统的原因。

范例验证

让我们打开一个内置范例来验证:ZemaxSamplesSequentialObjectivesCooke 40 degree field.zmx。

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在公差编辑器中输入简单的6个公差,我们只分析第一片与第二片镜片的倾斜、离心与镜片厚度。并设有一个后焦距补偿COMP,可以补偿TTHI造成的离焦。

公差分析设定如下:

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可以看到预估性能改变量 (Estimated Performance) 的值如下:

而对比一下就可以发现大约是落在蒙特卡罗 (Monte Carlo) 分析中的90%到98%之间。

须注意:由于在系统中,不像叠木块这么单纯,一些公差,例如倾斜与离心,不是完全独立。因此有时候RSS分析的结果会比蒙地卡罗预测的还要更差 (尤其公差非常宽松时)。

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